La construction du nombre

La psychologie génétique n’est pas une psychologie de l’apprentissage ( sur laquelle pourrait se fonder une pédagogie), mais une psychologie du développement ; elle se propose de déterminer l’évolution des processus d’élaboration de la pensée enfantine jusqu’à l’adolescence. •Elle affirme le caractère fondateur de l’activité du sujet : c’est l’interaction du sujet avec son environnement qui est le moteur des structures de connaissance. • Cette évolution n’est pas linéaire, ni cumulative, mais apparaît comme une suite d’équilibres temporaires pourvus d’une logique propre et de structures identifiables. Ces moments d’équilibre constituent des STADES, dont la stabilité est décrite en terme d’équilibration ( compensation entre perturbations extérieures et activités du sujet ). Cette équilibration résulte selon Piaget du double mouvement d’ASSIMILATION ( le sujet assimile les données extérieures dans ses structures de connaissances ) et d’ACCOMODATION ( le sujet transforme ces structures pour qu’elles acceptent les données extérieures ). Les stades sont caractérisés par des structures d’ensemble possédant une logique interne et une relative stabilité. Le passage d’un stade à un autre est caractérisé par une instabilité due à des situations de conflit intellectuel : l’enfant est en présence de situations dont ses structures de connaissance ne peuvent rendre compte ; une réorganisation est nécessaire, conduisant à une structure plus puissante qui sera celle du stade suivant. Cette phase de transition peut se traduire par des performances en régression temporaire apparente. Il ne s’agit pas ici de détailler davantage ce cadre général. La théorie piagétienne est articulée autour du rôle central des structures logiques. Il est vraisemblable d’y lire l’importance qu’ont eu pour Piaget les développements logicistes du début du siècle et ceux du formalisme en mathématique ( structure algébrique de Groupe, etc.). Il n’y a donc aucun hasard dans la confluence, à la fin des années 50 entre l a psychologie génétique d’une part, et le courant structuraliste en mathématique, d’autre part, qui s’est pédagogiquement concrétisé dans les années 70 dans les “Mathématiques Modernes”. La construction du Nombre Il revient à J.Piaget d’avoir montré que le concept de Nombre a une histoire et que l’accès à ce concept fait appel à des constructions préalables. Ainsi le nombre n’est pas un “objet” élémentaire et intuitif comme on avait pû le croire auparavant. L’analyse de J.Piaget est développée dans la Génèse du Nombre chez l’Enfant (1941). L’auteur soutient que le nombre est la “synthèse de la classe et de la relation asymétrique”, c’est-à-dire des structures de classification et des structures d’ordre. Il distingue ainsi deux aspects : • l’aspect cardinal est en rapport avec la mesure de quantités discontinues (objets distincts). Dire qu’une boîte contient cinq crayons c’est produire un énoncé indépendant de ce qui distingue les crayons les uns des autres et de leur disposition dans la boîte. “5” est donc la marque d’une propriété de cet ensemble, indépendante des objets eux-mêmes. On peut la retrouver pour d’autres collections d’objets, qui sont donc à ce point de vue (celui de la quantité) équivalents au premier. Cette relation d’équivalence se traduit notamment par des expressions comme “autant que”. • l’aspect ordinal est celui qui permet de numéroter des objets dans une suite. Le 5° étage d’un immeuble, la porte 102, sont des désignations qui permettent de distinguer les objets d’une collection selon une relation d’ordre. Ceci suppose que tous les objets sont distinguables et qu’ils peuvent être ordonnés par un critère. Ces deux aspects sont en relation l’un avec l’autre. Lorsqu’on dénombre une collection d’objets on commence par en désigner un (le premier), puis un autre (le deuxième), etc. jusqu’à épuisement. Lorsque l e dernier objet est désigné, ce numéro est le nombre cardinal de la collection. Piaget considère que l’acquisition du concept de Nombre par l’enfant résulte d’une synthèse de ces deux aspects. Les expériences qu’il a développées tendent à montrer que la construction de chacun de ces aspects passe par un certain nombre d’étapes qui sont des passages obligés. Ces étapes se déroulent dans un ordre fixe, indépendamment des temps et des lieux. Par contre la durée des étapes peut connaître des variations d’un enfant à un autre. Construction de l’aspect cardinal Evaluer une collection suppose déjà que la notion de collection ait un sens. Pour mettre ensemble des objets il faut que l’on tienne, à un certain point de vue, ces objets comme équivalents ( en tant qu’ils ont une raison d’être mis ensemble ), c’est-à-dire que l’on renonce à la singularité de chacun ; ceci ne pose sans F.Boule : La construction du nombre 2 doute pas problème si l’on considère des objets neutres ou très ressemblants ( jetons, bûchettes, etc. ), mais en soulève peut-être si les objets sont très disparates, ou si le contour de l’ensemble peut sembler ambigu. Un second préalable important réside dans la notion de conservation. Voici deux expériences classiques significatives à cet égard. A B A B’ fig. 1 Une collection d’objets (A) est présentée à un enfant. On lui demande d’en construire une autre (B) qu’il puisse juger “pareille” ( autant, la même chose…) ; dans un second temps on dispose différemment cette collection (B’). Tant que l’enfant n’est pas convaincu que la quantité s’est conservée, il semble illusoire d’en établir le nombre. Il faut bien voir qu’il s’agit là d’une conviction devant laquelle aucune sorte de preuve n’est opérante ; il semble cependant qu’apparaisse progressivement la certitude selon laquelle, en dépit de l’apparence spatiale, quelque chose est resté invariant. Cette certitude se traduit soit par des énoncés comme « on n’a rien enlevé ni ajouté » soit par la procédure consistant à mettre en correspondance les deux collections. C D fig. 2 Ainsi, si d’abord la collection (D) donne l’impression d’être plus importante que la collection (C) parce qu’elle occupe une plus grande étendue, l’utilisation d’une correspondance terme à terme permet d’établir le contraire. Mais il n’est pas équivalent d’une part, de constater la correspondance et d’en admettre l a conclusion et d’autre part d’être capable de la mettre en oeuvre dans n’importe quelle situation (comme celle de l’exemple ci-dessous). On ne considère la conservation établie que dans ce second cas. fig. 3 Construction de l’aspect ordinal De la même façon que l’aspect cardinal est gouverné par une relation d’équivalence, l’aspect ordinal est fondé sur une relation d’ordre. On retrouve comme préalable à la construction de l’ordre numérique, l a capacité à établir des sériations, c’est à dire à ranger des objets, par exemple par longueur croissante. Mais on peut envisager aussi de sérier des sons (grave/aigu, ou bref/long…) des couleurs (clair/foncé), des poids (léger/lourd) etc. ; tout ceci s’avérant, pour des raisons diverses, plus difficile et donc plus tardivement maîtrisé. L’une des difficultés soulevées par la sériation consiste à intercaler. AB C DE F fig. 4 Supposons les bandes A, B, C, D, E ordonnées par longueur croissante. Comment placer F dans cette série ? F.Boule : La construction du nombre 3 F devrait se situer entre B et C, puisque l’on peut établir que F > B ( plus grand que B ) et que F < C ( plus petit que C ). Il se peut que ces comparaisons entraînent une sorte de conflit apparent. Dans l’espace des “Blocs Logiques” par exemple un objet est “petit”, ou bien il est “grand” : ces critères, dans cet environnement, sont contradictoires, c’est à dire absolus. Il n’est pas immédiat de passer à des considérations relatives ( plus grand que…). Avant cela, il peut sembler impossible de juger que F est à l a fois petit ( plus petit que C ) et grand ( plus grand que B ). Mais tout dépend aussi des contraintes de l a situation : est-il permis de prendre en main cette bande et la manipuler ? Peut-on démonter et reconstruire toute la série ? Cette même difficulté à faire coexister des jugements apparemment contradictoires ou exclusifs, ou bien à prendre en considération deux jugements en relation de compensation intervient dans les problèmes soulevées par l’intercalement, ou la conservation, ou la distinction entre parties et tout. Elle est caractéristique d’un premier stade incompatible, selon Piaget, avec la constitution du concept de Nombre. Premières critiques et nouveaux horizons L’une des conséquences les moins contestables de la psychologie génétique est le rôle du niveau de développement dans les apprentissages. Sa connaissance a souvent été utilisée pour tenter de déterminer à quel âge il était opportun d’entreprendre tel ou tel apprentissage particulier. Néanmoins, l a conception des stades a dû répondre à différents ordres de critiques qui ont nécessité soit des ajustements importants, soit le recours à un cadre théorique de nature différente. Ces critiques proviennent principalement de trois directions : a. la question des “décalages horizontaux” Un stade est une étape lors de laquelle l’enfant dispose d’un ensemble d’opérations mentales structuré, cohérent et stable. Il est donc décrit en termes d’équilibre temporaire. Mais les contours d’un état d’équilibre sont relativement flous, à moins que l’on ne fasse intervenir soit des composantes individuelles ( comme les “habitudes évocatives” ), soit des éléments concernant le traitement de l a situation. Les études qui ont suivi les travaux de Piaget ont maintes fois insisté sur l’importance locale de la situation. Un concept peut être opératoire dans une situation (S0), ou dans une classe de situations (Si), mais pas dans une autre (Sj). Ceci intervient notamment si (Sj) réclame une intervention plus importante des représentations mentales (dans le cas d’une réponse requise sans manipulation, par exemple), mais également si l’évocation de la situation semble plus difficile ou moins familière. Les exemples ne manquent pas, qu’il s’agisse des structures additives ou multiplicatives, de la mesure (longueur/aire/volume), ou de structures logiques (transitivité). b. L’abandon des théories générales de l’apprentissage Contrairement à un long espoir, on n’est pas parvenu à isoler un ou plusieurs types fondamentaux d’apprentissages, de même que l’on a renoncé à définir une méthodologie générale de la résolution de problème, ainsi que la plupart des ambitions des méthodes d’éducabilité cognitives. On admet l’existence d’une pluralité de types d’apprentissages. A l’ère des grandes théories a succédé celle des modèles locaux ou régionaux. c. Quelques difficultés particulières relatives au nombre : Quantité et quotité. Une observation importante, pourtant issue de l’Ecole de Genève, est cependant restée à l’écart des mises en oeuvres pédagogiques. P. Gréco formulait en 1962 une distinction importante à l’intérieur de l’aspect cardinal : les jugements de quotité ( qui répondent à la question “combien ?” ) et les jugements de quantité ( “où y a-t-il plus ?” ). Il constate que les premiers précèdent toujours les seconds quelle que soit la tâche envisagée. Il semble donc que le comptage est un outil relativement sûr, dès avant la constitution du concept de nombre, au sens ci-dessus décrit et même avant l’étape de la conservation. On peut conclure de cette observation paradoxale (pour la théorie de J.Piaget) que l’usage efficace d’outils précède l a formation du concept. Des études plus récentes font apparaître que la distinction de quantités est possible par des enfants âgés de quelques mois, et certains animaux (chimpanzés, corbeaux, rats). Même si l’on ne peut l’interpréter en terme d’accès au concept de nombre, cette compétence appelle des ajustements du modèle. F.Boule : La construction du nombre 4 Recherches récentes concernant le nombre, et conséquences Les recherches entreprises en 1978 par R. Gelman et C.R. Gallister procèdent d’un point de vue très différent de celui de J.Piaget. Au lieu d’une analyse a priori du concept de nombre fortement inspirée par l’approche logiciste, ces auteurs préfèrent un examen empirique des capacités de comptage du jeune enfant. Selon eux, l’activité de comptage serait gouvernée par cinq “principes” implicites. • 1. Le principe d’ordre stable : la suite des étiquettes verbales est une liste fixe. • 2. Le principe de correspondance terme à terme : à chaque objet pointé, on fait correspondre un mot de l a liste. • 3. Le principe cardinal : le dernier mot de la suite utilisé désigne le cardinal de l’ensemble (test d’arrêt). • 4. Le principe d’ordre indifférent : le trajet choisi pour parcourir toute la collection est indifférent. • 5. Le principe d’abstraction : l’hétérogénéité des éléments est sans rapport avec leur dénombrement. Selon R. Gelman ces cinq principes seraient disponibles chez les enfants beaucoup plus tôt que ne l e laisse prévoir le modèle piagétien. Toutefois, c’est leur mise en oeuvre simultanée qui serait une difficulté pour l’enfant jeune. Cette difficulté résulterait de sa capacité limitée de traitement de l’information (saturation de l’espace de travail). Quelques expériences paraissent confirmer ces résultats. Ainsi, si au lieu de compter, on demande à l’enfant de contrôler un comptage, il semble que dès trois ans, et pour des collections allant jusqu’à la vingtaine, les principes 1, 2 et 3 sont respectés. En revanche si l’on accroît la difficulté de traitement au lieu de l’alléger, la chute des performances est sensible. Les enfants disposeraient donc, dès trois ans, d’une connaissance implicite des principes de base permettant de dénombrer, et seraient capables de les appliquer à des collections relativement étendues ; pourvu que la tâche (en particulier celle de comptage spontané) n’aboutisse pas à une surcharge cognitive. Les progrès ultérieurs proviendraient alors plutôt d’un accroissement de la capacité de traitement, ou bien d’une meilleure gestion de ce traitement. Ces travaux apportent un jour nouveau sur les pratiques de comptage et de calcul du jeune enfant. La pédagogie ne peut manquer d’en tenir compte. Mais il ne faudrait pas en conclure sommairement à un simple retour à des pratiques anciennes ou à leur justification théorique après-coup. Assurément, les recherches des trente dernières années font apparaître avec netteté le rôle de la “liste numérique” comme outil de dénombrement et l’importance de la reconnaissance globale des petites collections (subitizing) particulièrement chez les très jeunes enfants. On peut voir là plusieurs conséquences à tirer : – Les aspects sous lesquels les enfants reconnaissent et traitent les nombres sont très divers ; cette reconnaissance et ce traitement sont précoces au moins dans leur principe. – La construction des nombres se développerait selon plusieurs directions simultanément, dont l a convergence n’est pas immédiate. – Les relations mathématiques paraissant sous-jacentes, comme celles d’ordre ou d’équivalence, ne sont pas elles-mêmes primitives, mais précédées par des structures moins riches ( comme celle de LISTE ), et au fonctionnement local ( certains types de situations, ou certains ordres de grandeur ). Quelques relations d’équivalence sont disponibles bien avant d’autres, et à plus forte raison bien avant la notion d’équivalence. Plus généralement, ces points de vue récents inscrivent les compétences numériques dans une perspective de construction et de disposition d’outils, certains outils étant sans doute précocément utilisables. Mais il ne s’agit pas de confondre les recherches psychologiques, où l’on établit des hypothèses et où l’on teste des modèles concernant l’évolution psychologique de l’enfant, et la pratique pédagogique qui tâche de faire acquérir des connaissances et des méthodes. Celle-ci n’est pas une application directe de celle-là, et si les ruptures font avancer l’une, il n’est pas certain qu’elles profitent à l’autre. Néanmoins l’acuité des débats théoriques, et l’intervention de faits expérimentaux nouveaux renouvellent peu à peu les regards : il n’y a jamais de retours véritables.